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南京做网站咨询南京乐识,开家做网站公司有哪些,网站cname解析,有哪些网站是做网批女装场论笔记#xff08;三#xff09;矢量分析基础 ​ 矢量分析是矢量代数的继续#xff0c;是场论的基础知识#xff0c;同时也是弹性波动力学等其他学科的有用工具。其本笔记主要内容是介绍矢性函数#xff0c;矢端曲线及其微分#xff0c;积分计算及其性质。 1.1矢…场论笔记三矢量分析基础​ 矢量分析是矢量代数的继续是场论的基础知识同时也是弹性波动力学等其他学科的有用工具。其本笔记主要内容是介绍矢性函数矢端曲线及其微分积分计算及其性质。1.1矢性函数​ 在矢量代数中曾经学过矢量的模长和方向都保持不变的矢量这种矢量称为常矢(注意零矢量的方向为任意可作为一种特殊的常矢量)然而在许多科学技术问题中我们常常遇到模长和方向或其中之一会改变的矢量这种矢量称为变矢。​Definition 1.1设有数性变量\(t\)和变矢量\(\mathbf{A}\)如果对于\(t\)在某个范围\(G\)内的每一个数值变矢量\(\mathbf{A}\)都以一个确定的矢量和它对应则称\(\mathbf{A}\)为数性变量\(t\)的矢量函数记作\[\mathbf{A}\mathbf{A}(t) \tag{1.1.1} \]并称\(\mathbf{G}\)为函数\(\mathbf{A}\)的定义域。​ 矢量函数\(\mathbf{A}(t)\)在\(Oxyz\)直角坐标系的三个坐标即它的三个坐标系的投影显然都是\(t\)的函数\[\mathbf{A}(t)[A_x(t),A_y(t),A_z(t)] \tag{1.1.2} \]所以矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)的坐标表达式为\[\mathbf{A}A_x(t)\mathbf{i}A_y(t)\mathbf{j}A_z(t)\mathbf{k} \tag{1.1.3} \]其中\(i,j,k\)为沿\(x,y,z\)三个坐标轴正向的单位矢量。可见一个矢性函数和三个有序的数性函数坐标构成一一对应的关系。1.2矢端曲线​ 本笔记所讲的矢量均指自由矢量就是当两矢量的模长和方向相同时就认为此二矢量是相等的。据此为了能用图形来直观地表示矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)的变化状态我们就可以把\(\mathbf{A}(t)\)的起点取在坐标原点。这样当\(t\)变化时矢量\(\mathbf{A}(t)\)的终点\(\mathbf{M}\)就描绘出一条曲线\(l\); 这条曲线叫做矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)的矢端曲线亦叫做矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)的图形。​ 由矢量代数知道起点在坐标原点\(\mathbf{O}\)终点为\(\mathbf{M}(x,y,z)\)的矢量\(OM\)叫做点\(M\)(对于\(O\)点)的矢径常用\(\mathbf{r}\)表示\[\mathbf{r}OMx\mathbf{i}y\mathbf{j}z\mathbf{k} \tag{1.2.1} \]当我们把矢量函数\(\mathbf{A}(t)\)的起点取在坐标原点时\(\mathbf{A}(t)\)实际上就成为其终点\(M(x,y,z)\)的矢径。因此\(\mathbf{A}(t)\)的三个坐标\(A_x(t),A_y(t),A_z(t)\)就对应地等于其终点\(M\)的三个坐标\(x_{M},y_{M},z_{M}\)即有\[\begin{cases} x_{M}A_x(t)\\ y_{M}A_y(t)\\ z_{M}A_z(t)\\ \end{cases} \tag{1.2.2} \]式(1.1.2)就是矢端曲线\(l\)的以\(t\)为参数的参数方程。容易看出曲线\(l\)的矢量方程式(1.3)和参数方程式(1.5)之间一一对应关系只要知道其中的一个就可以立刻写出另一个。1.3矢性函数的极限和连续性​ 和数性函数一样矢性函数的极限和连续性是矢性函数的微分与积分的基础概念。兹分述如下​Definition 1.2 矢性函数极限的定义设矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)在点\(t_0\)的某个领域内有定义但在\(t_0\)处可以没有定义\(\mathbf{A_{0}}\)为一常矢。若对于任意给定的正数\(\varepsilon\), 都存在一个正数\(\delta\)使得当\(t\)满足\(0|t-t_0|\delta\)时就有\[|\mathbf{A}(t)-\mathbf{A_{0}}|\varepsilon \tag{1.3.1} \]成立则称\(\mathbf{A}_{0}\)为矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)当\(t\rightarrow{t_0}\)时的极限记作\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t)\mathbf{A_0} \tag{1.3.2} \]这个定义与数性函数的极限的定义完全类似。因此矢性函数也就有类似于数性函数中的一些极限运算法则。例如\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}u(t)\mathbf{A}(t)\lim_{t\rightarrow{t_0}}u(t)\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t) \tag{1.3.3} \]\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}[\mathbf{A}(t)\pm\mathbf{B}(t)]\lim_{t\rightarrow{t_0}}{\mathbf{A}(t)}\pm\lim_{t\rightarrow{t_0}}{\mathbf{B}(t)} \tag{1.3.4} \]\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}[\mathbf{A}(t)\cdot\mathbf{B}(t)]\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t)\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{B}(t) \tag{1.3.5} \]\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}[\mathbf{A}(t)\times\mathbf{B}(t)]\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t)\times\lim_{t\rightarrow{t_0}}{\mathbf{B}}(t) \tag{1.3.6} \]其中\(u(t)\)为数性函数\(\mathbf{A}(t)\),\(\mathbf{B}(t)\)为矢性函数且当\(t\rightarrow{t_0}\)时\(u(t)\),\(\mathbf{A}(t)\),\(\mathbf{B}(t)\)均有极限存在。​ 依此根据式(1.3)有下式\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t)\lim_{t\rightarrow{t_0}}A_x(t)\mathcal{i}\lim_{t\rightarrow{t_0}}A_y(t)\mathcal{j}\lim_{t\rightarrow{t_0}}A_z(t)\mathcal{k} \tag{1.3.7} \]此式把求矢性函数的极限归结为求三个数性函数的极限。​Definition 1.3 矢性函数连续性的定义若矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)在点\(t_0\)的某个领域内有定义而且有\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t)\mathbf{A}(t_0) \tag{1.3.8} \]则称\(\mathbf{A}(t)\)在\(tt_0\)处连续。​ 容易看出:矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)在点\(t_0\)处连续的充要条件是它的三个坐标函数\(A_x(t)\),\(A_y(t)\),\(A_z(t)\)都在\(t_0\)处连续。​ 若矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)在某个区间内的每一个点处都联系则称它在该区间内连续。1.4 矢性函数的导数与微分​ 在上述小结中我们初步定义了矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)及其几何意义矢端曲线在此基础上类似数性函数在本节中从矢性函数的导数出发给出矢性函数的微分及其性质。1.4.1 矢性函数的导数设有起点在\(O\)点的矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)当数性变量\(t\)在其定义域内从\(t\)到\(t\Delta{t}(t\neq0)\)时对应的矢量分别为\[\mathbf{A}(t)OM \tag{1.4.1} \]\[\mathbf{A}(t\Delta{t})ON \tag{1.4.2} \]由此可定义矢性函数的增量记作\(\Delta{\mathbf{A}}\)则\[\Delta{\mathbf{A}}\mathbf{A}(t\Delta{t})-\mathbf{A}(t)MN \tag{1.4.3} \]据此就可以给出矢性函数的导数的定义。Definition 1.4 矢性函数的导数设矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)在点\(t\)的某一领域内有定义并设\(t\Delta{t}\)也在这个领域内。若\(\mathbf{A}(t)\)对应于\(\Delta{t}\)的增量\(\Delta{\mathbf{A}}\)与\(\Delta{t}\)的之比\[\frac{d{\mathbf{A}}}{d{t}}\frac{\mathbf{A}(t\Delta{t})-\mathbf{A}(t)}{\Delta{t}} \tag{1.4.4} \]在\(\Delta{t}\rightarrow{0}\)时及其极限存在则称此极限为矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)在点\(t\)处的导数简称为导矢记作\(\frac{d{\mathbf{A}}}{d{t}}\)或者\(\mathbf{A}^{}(t)\)即\[\frac{d\mathbf{A}(t)}{d{t}}\lim_{t\rightarrow{t_0}}\frac{\Delta{\mathbf{A}}}{\Delta{t}}\lim_{t\rightarrow{t_0}}\frac{\mathbf{A}(t\Delta{t})-\mathbf{A}(t)}{\Delta{t}} \tag{1.4.5} \]若\(\mathbf{A}(t)\)由坐标性质给出\[\mathbf{A}(t)A_x(t)\mathbf{i}A_y(t)\mathbf{j}A_z(t)\mathbf{k} \tag{1.4.6} \]且函数\(A_x(t),A_y(t),A_z(t)\)在点\(t\)可导则有\[\begin{aligned} \frac{d{\mathbf{A}}}{d{t}}\lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\Delta\mathbf{A}}{\Delta{t}}\\ \lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{A_x}}{\Delta{t}}\mathbf{i}\lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{A_y}}{\Delta{t}}\mathbf{j}\lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{A_z}}{\Delta{t}}\mathbf{k}\\ \frac{d{A_x}}{d{t}}\mathbf{i}\frac{d{A_y}}{dt}\mathbf{j}\frac{d{A_z}}{d{z}}\mathbf{k} \end{aligned} \tag{1.4.7} \]即\[\mathbf{A^{\prime}}(t)A_x^{\prime}(t)\mathbf{i}A_y^{\prime}(t)\mathbf{j}A_z^{\prime}\mathbf{k} \tag{1.4.8} \]此式把求矢量函数的导数归结为求三个分量的数性函数的导数。1.4.2 矢性函数的导数几何意义​ 如图\(l\)为\(\mathbf{A}(t)\)矢端曲线\(\frac{\Delta\mathbf{A}}{\Delta{t}}\)是在\(l\)的割线\(MN\)上的一个矢量。当\(\Delta{t}0\)时其指向与\(\Delta{A}\)一致系指向对应\(t\)值增大的一方当\(\Delta{t}0\)时其指向与\(\Delta{\mathbf{A}}\)相反但此时\(\Delta{A}\)指向对应\(t\)值函数减小的一方从而\(\frac{\Delta\mathbf{A}}{\Delta{t}}\)依然指向对应\(t\)值增大的一方。​ 在\(\Delta{t}\rightarrow{0}\)时由于割线\(MN\)绕点\(M\)转动且以点\(M\)处的切线为其极限位置。此时在割线上的矢量\(\Delta{\mathbf{A}}\over{\Delta{t}}\)的极限位置。此时在割线上的矢量\(\Delta{\mathbf{A}}\over{\Delta{t}}\)的极限位置自然也就在此切线上则也就是说导矢\[\mathbf{A}^{\prime}(t)\lim_{t\rightarrow{0}}\frac{\Delta{\mathbf{A}}}{\Delta{t}} \tag{1.4.9} \]当其不为零时是在点\(M\)处的切线上且由上述可知其方向恒指向对应\(t\)值增大的方向。故导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量指向对应\(t\)值增大的一方。1.4.3 矢性函数的微分1微分的概念与几何意义​ 根据数性函数的微分的定义设矢性函数\(\mathbf{A}\mathbf{A^{\prime}}(t)\)我们把\[d\mathbf{A}\mathbf{A^{\prime}}(t)dt \space (dt\Delta{t}) \tag{1.4.10} \]称为矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)在\(t\)处的微分。​ 由于微分\(d{\mathbf{A}}\)是导矢\(\mathbf{A^{\prime}}(t)\)与增量\(\Delta{t}\)的乘积所以其是一个矢量而且和导矢\(\mathbf{A}^{\prime}(t)\)一样也在点\(M\)处与\(\mathbf{A}(t)\)的矢端曲线\(l\)相切但其指向当\(dt0\)时与\(\mathbf{A}^{\prime}(t)\)相切方向一致而当\(dt0\)时则与\(\mathbf{A}^{\prime}(t)\)的方向相反。微分\(d{\mathbf{A}}\)的分量表达式如下\[d{\mathbf{A}}A_x^{\prime}(t)dt\mathbf{i}A_{y}^{\prime}(t)dt\mathbf{j}A_z^{\prime}(t)dt\mathbf{k} \tag{1.4.11} \]或\[d{\mathbf{A}}d{A_x}\mathbf{i}d{A_y}\mathbf{j}d{A_z}\mathbf{k} \tag{1.4.12} \](2)\(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\)的几何意义​ 如果把矢性函数\(\mathbf{A}(t)A_x(t)\mathbf{i}A_y(t)\mathbf{j}A_z(t)\mathbf{k}\)看作其终点\(M(x,y,z)\)的矢径函数\[\mathbf{r}x\mathbf{i}y\mathbf{j}z\mathbf{k} \tag{1.4.13} \]这里\(xA_x(t),yA_y(t),zA_z(t)\)则上式可以写为如下的形式\[|d{\mathbf{r}}|\sqrt{dx^2dy^2dz^2} \tag{1.4.14} \]通常都将矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)的矢端曲线\(l\)视为有向曲线在无特别声明时都是取\(t\)值增加的一方为\(l\)之正向。若在\(l\)上取定一点\(M_0\)作为计算弧长\(s\)的起点并以\(l\)之正向即\(t\)值增大的方向作为\(s\)增大的方向则在任一点\(M\)处弧长的微分是\[ds\pm\sqrt{dx^2dy^2dz^2} \tag{1.4.15} \]按照下述办法取右端符号以点\(M\)为界当\(ds\)位于\(s\)增大一方时取正号反之取负号。由此可见有\[|d{\mathbf{r}}||d{s}| \tag{1.4.16} \]就是说矢性函数的微分向量的模长等于其矢端曲线的弧长微分的绝对值从而由\[|d{\mathbf{r}}|\left|\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}ds\right|\left|\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}\right|\cdot|ds| \tag{1.4.17} \]有\[\left|\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}\right|\frac{|d{\mathbf{r}}|}{|ds|}1 \tag{1.4.18} \]结合导矢的几何意义便知矢性函数对其矢端曲线的弧长\(s\)的导数\(\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}\)在几何上为切向单位向量恒指向\(s\)增大的一方。Equation 1.5.1证明\(\frac{ds}{dt}\left|\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}\right|\)证明\[\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}\frac{dx}{dt}\mathbf{i}\frac{dy}{dt}\mathbf{j}\frac{dz}{dt}\mathbf{k} \tag{1.4.19} \]由此可知\(\mathbf{r}\)的矢性微分的模长\[\left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right|\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \tag{1.4.20} \]由此可知\(ds\)与\(dt\)具有相同的符号固有\[\begin{aligned} \frac{ds}{dt}\frac{\pm\sqrt{dx^2dy^2dz^2}}{\pm\sqrt{dt^2}} \\ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\\ \left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right| \end{aligned} \tag{1.4.21} \]由此可知矢端曲线的切向单位矢量即\[\frac{d{\mathbf{r}}}{d{s}}\frac{\frac{d\mathbf{r}}{d{t}}}{\frac{ds}{dt}}\frac{d\mathbf{r}}{dt}\bigg/\left|\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}\right| \tag{1.4.19} \]1.4.4 矢性函数的导数性质设矢性函数\(\mathbf{A}\mathbf{A}(t),\mathbf{B}\mathbf{B}(t)\)及数性函数\(uu(t)\)在\(t\)的某个范围内可导则下列公式在该范围内成立\(\frac{d}{dt}{\mathbf{C}}\mathbf{0}\)(\(\mathbf{C}\)为常矢)\(\frac{d}{dt}(\mathbf{A}\pm\mathbf{B})\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}\pm\frac{d\mathbf{B}}{dt}\);\(\frac{d}{dt}(k\mathbf{A})k\frac{d\mathbf{A}}{dt}\)(\(k\)为常数);\(\frac{d}{dt}(u\mathbf{A})\frac{du}{dt}\mathbf{A}u\frac{d{\mathbf{A}}}{dt};\)\(\frac{d}{dt}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\mathbf{A}\cdot\frac{d\mathbf{B}}{dt}\mathbf{B}\cdot\frac{d\mathbf{A}}{dt};\)\(\frac{d}{dt}(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\mathbf{A}\times\frac{d{\mathbf{B}}}{dt}\mathbf{B}\times\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}\)\(\frac{d}{dt}\mathbf{A^2}2\mathbf{A}\cdot\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}\)(其中\(\mathbf{A}^2\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}\))复合函数求导公式若\(\mathbf{A}\mathbf{A}(u),uu(t)\)则\[\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}\frac{du}{dt} \tag{1.4.20} \]这些公式的证明方法与微积分学中数性函数的类似公式的证法完全相同比如公式5可以这样证明\[\begin{aligned} \Delta(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})(\mathbf{A}\Delta{\mathbf{A}})\cdot(\mathbf{B}\Delta{\mathbf{B}})-\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} \\ \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\mathbf{A}\cdot(\Delta\mathbf{B})\mathbf{B}\cdot(\Delta{\mathbf{A}})\Delta{\mathbf{A}}\cdot\Delta{\mathbf{B}}-\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\\ \mathbf{A}\cdot{\Delta{\mathbf{B}}}\mathbf{B}\cdot\Delta\mathbf{A}\Delta{\mathbf{A}}\cdot\Delta{\mathbf{B}} \end{aligned} \tag{1.4.21} \]以\(\Delta{t}\)除以两端有\[\frac{\Delta{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}}{\Delta{t}}\mathbf{A}\cdot\frac{\Delta{\mathbf{B}}}{\Delta{t}}\mathbf{B}\cdot\frac{\Delta{\mathbf{A}}}{\Delta{t}} \tag{1.4.22} \]再令\(\Delta{t}\rightarrow{0}\)两端取极限就得到\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\mathbf{A}\cdot\frac{d{\mathbf{B}}}{dt}\mathbf{B}\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}\mathbf{0}\cdot\frac{d{\mathbf{B}}}{dt}\\ \mathbf{A}\cdot\frac{d{\mathbf{B}}}{dt}\mathbf{B}\frac{d{\mathbf{A}}}{dt} \end{aligned}\tag{1.4.23} \]定理矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)的模不变的充要条件是\[\mathbf{A}\cdot\frac{d\mathbf{A}}{dt}0 \tag{1.4.24} \]证明假定\(|\mathbf{A}|constant\), 则有\[\mathbf{A}^2|\mathbf{A}|^2constant \tag{1.4.25} \]两端对\(t\)求导就得到\[\mathbf{A}\cdot\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}0 \tag{1.4.26} \]反之若有\(\mathbf{A}\cdot\frac{d\mathbf{A}}{dt}0\), 从而\[\frac{d}{dt}\mathbf{A}^20 \tag{1.4.27} \]则有\[\mathbf{A}^2|\mathbf{A}|^2constant \tag{1.4.28} \]所以要有\[|\mathbf{A}| constant \tag{1.4.29} \]这个例子可以简单地说成定长矢量\(\mathbf{A}(t)\)与其导矢量互相垂直。特别对于单位矢量$$\[\mathbf{A}^{o}\perp \frac{d{\mathbf{A}^{o}}}{dt} \tag{1.4.30} \]1.4.5 导矢的物理意义​ 设质点\(M\)在空间运动其矢径\(\mathbf{r}\)与时间\(t\)的函数关系为\[\mathbf{r}\mathbf{r}(t) \tag{1.4.31} \]这个函数的矢端曲线\(l\)就是质点\(M\)的运动轨迹。​ 为了说明导矢\(\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}\)的物理意义假定质点在时刻\(t0\)时位于点\(M_0\)处经过一段时间\(t\)以后到达点\(M\),其间在\(l\)上所经过的路程为\(s\)。这样点\(M\)的矢径\(\mathbf{r}\)显然是路程\(s\)的函数而\(s\)又是时间\(t\)的函数从而可以将\(\mathbf{r}\mathbf{r}(t)\)看作\(\mathbf{r}\)是通过中间变量\(s\)而成为时间\(t\)的一个复合函数于是由复合函数的求导公式有\[\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt} \tag{1.4.32} \]矢中\(\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}\)的几何意义如前段所示是在点\(M\)处的一个切向单位向量指向\(s\)增大的方向因此它表示在点\(M\)处质点运动的方向现在以\(\boldsymbol{\tau}\)表示之而式中的$$\[\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}v\boldsymbol{\tau} \tag{1.4.33} \]由此可见导矢\(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\)表示出了质点\(M\)运动的速度大小和方向因而它就是质点\(M\)运动的速度矢量\(\boldsymbol{v}\),即\[\boldsymbol{v}\frac{d\mathbf{r}}{dt} \tag{1.4.33} \]若定义二阶导矢\(\mathbf{w}\)\[\mathbf{w}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}\frac{d}{dt}\left(\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}\right) \tag{1.4.34} \]则\(\mathbf{w}\)为质点\(\mathbf{M}\)运动的加速度矢量。​1.5 矢性函数的积分​ 矢性函数的积分和数性函数的积分类似也有不定积分和定积分两种现在分述于下1.5.1 矢性函数的不定积分​定义若在\(t\)的某个区间\(I\)上有\(\mathbf{B^{}}(t)\mathbf{A}(t)\)则称\(\mathbf{B}(t)\)为\(\mathbf{A}(t)\)在区间上的一个原函数。在区间\(I\)上\(\mathbf{A}(t)\)的原函数全体加做\(\mathbf{A}(t)\)的原函数的全体叫做\(\mathbf{A}(t)\)在\(I\)上的不定积分记作\[\int{\mathbf{A}(t)}dt \tag{1.5.1} \]这个定义和数性函数的不定积分定义完全类似。故和数性函数一样若已知\(\mathbf{B}(t)\)和是\(\mathbf{A}(t)\)的一个原函数则有\[\int{\mathbf{A}(t)}dt\mathbf{B}(t)\mathbf{C} \tag{1.5.2} \]而且数性函数不定积分的基本性质对矢性函数来说也仍然成立。例如\[\begin{equation} \int k\mathbf{A}(t)dtk\int\mathbf{A}(t)dt \tag{1.5.3} \end{equation} \]\[\begin{equation} \int [\mathbf{A}(t)\mathbf{B}(t)]dt\int\mathbf{A}(t)dt\int\mathbf{B}(t)dt \tag{1.5.4} \end{equation} \]\[\begin{equation} \int u(t)\mathbf{a}dt\mathbf{a}\int u(t)dt \tag{1.5.5} \end{equation} \]\[\int\mathbf{a}\cdot\mathbf{A}(t)dt\mathbf{a}\cdot\int \mathbf{A}(t)dt \tag{1.5.6} \]\[\int \mathbf{a}\times\mathbf{A}(t)dt\mathbf{a}\times\int\mathbf{A}(t)dt \tag{1.5.7} \]其中\(k\)为非零常数\(\mathbf{a}\)为非零常矢量。​ 据此若已知矢性函数的分量表达式\(\mathbf{A}(t)A_x(t)\boldsymbol{i}A_y(t)\boldsymbol{j}A_z(t)\boldsymbol{k}\),根据式(1.6.3)和式(1.6.4)可知\[\int\mathbf{A}(t)dt\boldsymbol{i}\int{A_x(t)}dt\boldsymbol{j}\int{A_y(t)}dt\boldsymbol{k}\int{A_z(t)}dt \tag{1.5.8} \]此式把求一个矢性函数的不定积分归纳为求一个三个数性函数的不定积分。​ 此外数性函数的换元积分法与分部积分法亦适用于矢性函数。但由于两个矢量的矢量积服从于负交换律即\(\mathbf{A}\times\mathbf{B}-(\mathbf{B}\times\mathbf{A})\), 故其分部积分公式的应用端应为两项相加\[\int\mathbf{A}\times\mathbf{B}^{\prime}dt\mathbf{A}\times \mathbf{B}\int \mathbf{B}\times\mathbf{A}^{\prime}dt \tag{1.5.9} \]1.5.2 矢性函数的定积分定义设矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)在区间\([T_1,T_2]\)上连续则\(\mathbf{A}(t)\)在\([T_1,T_2]\)上的定积分是指下面形式的极限\[\int_{T_1}^{T_2}\mathbf{A}(t)dt\lim_{\lambda\rightarrow{0}}\sum_{i1}^{n}\mathbf{A}(\xi_{i})\Delta{t_i} \tag{1.5.10} \]其中\(T_1t_0t_1t_2...t_nT_2\)\(\xi_i\)为区间\([t_{i-1},t_i]\)上的一点\(\Delta{t_i}t_i-t_{i-1}\);\(\lambdamax{\Delta{t_i}}\),\(i1,2,3,...,n\)。​ 可以看出矢性函数的定积分概念也和数性函数的定积分完全类似。因此也具有和数性函数的定积分相应的基本性质例如\[\int_{T_1}^{T_2}\mathbf{A}(t)dt\mathbf{B}(T_2)-\mathbf{B}(T_1) \tag{1.5.11} \]其他性质就不一一列举了。​ 此外类似于1.6.11式求矢性函数的定积分也可以归纳于求三个数性函数的定积分既有\[\int_{T_1}^{T_2}\mathbf{A}(t)dt\boldsymbol{i}\int_{T_1}^{T_2}A_x(t)dt\boldsymbol{j}\int_{T_1}^{T_2}A_y(t)dt\boldsymbol{k}\int_{T_1}^{T_2}A_z(t)dt \tag{1.5.12} \]