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Jxy * Jxy sqrt_discriminant np.sqrt(np.maximum((Jxx - Jyy)**2 4 * Jxy**2, 0)) # 确保非负 lambda1 0.5 * (trace sqrt_discriminant) lambda2 0.5 * (trace - sqrt_discriminant) # 5. 计算主方向角垂直于最大变化方向 # orientation 0.5 * arctan2(2 * Jxy, (Jxx - Jyy)) orientation 0.5 * np.arctan2(2 * Jxy, Jxx - Jyy) # 结果在 [-pi/2, pi/2] 弧度 return Jxx, Jxy, Jyy, lambda1, lambda2, orientation # 示例分析一张纹理图像 img cv2.imread(texture_or_building.jpg, cv2.IMREAD_GRAYSCALE) if img is None: # 生成一个合成纹理图像用于演示 x np.linspace(0, 4*np.pi, 400) y np.linspace(0, 4*np.pi, 400) X, Y np.meshgrid(x, y) img np.uint8(255 * (np.sin(X*2) * np.cos(Y) 1) / 2) # 波浪纹理 Jxx, Jxy, Jyy, lam1, lam2, orient compute_structure_tensor(img, ksize3, sigma1, window_sigma3) # 可视化特征值它揭示了结构信息 coherence ((lam1 - lam2) / (lam1 lam2 1e-8))**2 # 相干性度量边缘区域接近1 flat_mask (lam1 0.01) (lam2 0.01) # 平坦区域 edge_mask (lam1 lam2 * 5) (lam1 0.1) # 强边缘/线性结构 corner_texture_mask (lam1 0.1) (lam2 0.1) (lam1 / lam2 5) # 角点或纹理 # 创建一个彩色编码图像用于可视化 vis np.zeros((img.shape[0], img.shape[1], 3), dtypenp.uint8) vis[flat_mask] [0, 0, 0] # 黑色平坦 vis[edge_mask] [0, 0, 255] # 红色边缘 vis[corner_texture_mask] [0, 255, 0] # 绿色角点/纹理 plt.figure(figsize(15, 10)) plt.subplot(2, 3, 1), plt.imshow(img, cmapgray), plt.title(原图) plt.subplot(2, 3, 2), plt.imshow(lam1, cmaphot), plt.title(主特征值 λ1 (强度)), plt.colorbar() plt.subplot(2, 3, 3), plt.imshow(lam2, cmaphot), plt.title(次特征值 λ2), plt.colorbar() plt.subplot(2, 3, 4), plt.imshow(coherence, cmapjet), plt.title(相干性 (Coherence)), plt.colorbar() plt.subplot(2, 3, 5), plt.imshow(orient, cmaphsv), plt.title(主方向角 (弧度)), plt.colorbar() plt.subplot(2, 3, 6), plt.imshow(vis), plt.title(结构分类 (黑:平/红:边/绿:角/纹)) plt.tight_layout() plt.show()3. 高阶应用基于结构张量的各向异性扩散滤波各向同性滤波器如高斯模糊在平滑噪声时会平等地模糊所有方向导致边缘退化。各向异性扩散Anisotropic Diffusion特别是Perona-Malik模型其核心思想是沿着边缘方向平行于v2进行强扩散以平滑噪声而跨过边缘方向平行于v1则进行弱扩散甚至不扩散以保护边缘。结构张量恰好为我们提供了每个像素点的局部方向(v1, v2)和结构强度(λ1, λ2)是实现真正方向感知扩散的完美工具。扩散过程可以表述为偏微分方程PDE [ \frac{\partial I}{\partial t} \text{div} \left( \mathbf{D} \cdot \nabla I \right) ] 其中D是扩散张量它是一个2x2矩阵其特征向量与结构张量J相同但特征值根据我们希望在该方向扩散的强度来设定。一个经典的策略是沿着边缘方向v2λ1大λ2小设置大的扩散系数如c(λ2) ≈ 1。跨边缘方向v1设置小的扩散系数如c(λ1) ≈ 0。3.1 使用OpenCV实现各向异性扩散我们将实现一个基于加性算子分裂AOS方案的、稳定的各向异性扩散滤波器。AOS方法无条件稳定允许较大的时间步长。def anisotropic_diffusion_structure_tensor(img, num_iter20, dt5.0, kappa50.0, window_sigma2.0): 基于结构张量的各向异性扩散滤波。 参数 img: 输入灰度图像 (float类型范围[0,1]或[0,255])。 num_iter: 迭代次数。 dt: 离散时间步长 (AOS允许较大的dt)。 kappa: 对比度参数控制边缘敏感度。 window_sigma: 计算结构张量的高斯窗口标准差。 返回 滤波后的图像。 if img.dtype ! np.float32: img img.astype(np.float32) u img.copy() h, w u.shape # 预定义用于构建稀疏矩阵的索引有限差分 # 这里为了简洁我们实现一个显式方案稳定性较差但易懂 # 在实际生产环境中强烈建议使用隐式AOS或半隐式方案。 print(f警告使用显式方案进行演示。为稳定请使用小dt或实现AOS方案。) for _ in range(num_iter): # 1. 计算当前图像的结构张量特征 _, _, _, lam1, lam2, orient compute_structure_tensor(u, ksize3, sigma1, window_sigmawindow_sigma) # 2. 根据特征值计算沿v1和v2方向的扩散系数 # 使用Perona-Malik的传导函数 c(x) 1 / (1 (x/kappa)^2) # 沿着v1方向梯度大扩散弱沿着v2方向梯度小扩散强 # 注意lam1反映垂直方向的梯度强度我们用它来抑制跨边缘扩散 c1 1.0 / (1.0 (lam1 / (kappa * kappa))) # 沿v1方向跨边缘的系数 c2 1.0 # 沿v2方向顺边缘的系数可以设为1或另一个函数 # 3. 计算旋转后的梯度在局部坐标系v1,v2下的梯度 # 简化我们使用图像梯度并用扩散张量D由c1,c2构成点乘它 Ix cv2.Sobel(u, cv2.CV_32F, 1, 0, ksize3) Iy cv2.Sobel(u, cv2.CV_32F, 0, 1, ksize3) # 4. 构造扩散通量 D * [Ix; Iy] # D [a b; b d] 是一个由c1,c2和orient构成的对称矩阵 cos_theta np.cos(orient) sin_theta np.sin(orient) # 旋转矩阵 R [cos sin; -sin cos] 其列是v2, v1 # D R * diag(c2, c1) * R^T a c2 * cos_theta*cos_theta c1 * sin_theta*sin_theta b (c2 - c1) * cos_theta * sin_theta d c2 * sin_theta*sin_theta c1 * cos_theta*cos_theta # 通量分量 flux_x a * Ix b * Iy flux_y b * Ix d * Iy # 5. 计算通量的散度 (使用中心差分) flux_x_pad np.pad(flux_x, ((1,1),(1,1)), modeedge) flux_y_pad np.pad(flux_y, ((1,1),(1,1)), modeedge) div_x (flux_x_pad[1:-1, 2:] - flux_x_pad[1:-1, 0:-2]) / 2.0 div_y (flux_y_pad[2:, 1:-1] - flux_y_pad[0:-2, 1:-1]) / 2.0 divergence div_x div_y # 6. 显式更新 u u dt * divergence # 可选夹紧值到合理范围 # u np.clip(u, 0, 255) return u