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1乘法的封闭性与实部虚部混合设。注意虽然和的实部虚部都是正数但乘积的实部变成了负数。这是线性变换中“旋转”特性的代数体现但在第一章我们只关注运算结果的确切性。1.3 为什么需要复数考虑方程。在中无解但在中有解。线性代数中寻找“特征值”本质上就是解多项式方程。如果局限于许多算子将“无解”没有特征值。因此提供了更完整的代数环境。2. 标量域的抽象这是本书逻辑严密性的第一个体现。作者不想把定理写两遍一遍给实数一遍给复数。因此引入符号。2.1 定义在本书中既可以代表实数域也可以代表复数域。中的元素被称为标量。2.2 域的潜台词虽然 Axler 没有花费大量篇幅讲解群论中的“域”这是另外的部分了我们还是暂时不要深入到群论但他罗列的性质暗示了必须满足极其严格的代数结构。对于任意必须满足交换律 :,结合律 :,分配律 :单位元 :存在和使得,。逆元 :存在加法逆元和乘法逆元。逻辑推论如果不满足上述性质例如整数集合因为它没有乘法逆元如就不能作为线性代数的标量域。线性代数的所有定理都建立在这些基础算术公理之上。3. 列表与空间在定义抽象的“向量空间”之前我们先研究一个最具体的例子。这是所有向量空间的原型Prototype。3.1 列表的严格定义设是非负整数。一个长度为的列表是个元素的一个有序排列Ordered mathematical objects记作其中是第个坐标。关键区别列表 vs 集合顺序重要性列表集合。重复性列表是合法的且长度为 2集合长度为 1。结论线性代数处理的是位置敏感的数据结构。3.2的定义是所有长度为的、元素来自的列表的集合实例 2区分空间维度: 实数对如。: 复数对如。: 实数三元组如。3.3 定义上的运算仅仅有一堆列表是不够的我们需要定义它们之间如何通过代数发生关系。我们在上定义两种基本运算。A. 坐标加法对于和它们的和定义为逻辑验证只有当两个列表长度相同时加法才有定义。这是由“有序列表”的结构决定的。B. 标量乘法对于和积定义为实例 3中的运算设向量。这个例子展示了标量域的运算规则如何直接渗透进的每一个坐标中。4. 迈向抽象的第一步在此阶段我们得到了什么我们有了标量它们遵循算术规则。我们有了向量中的列表它们可以相加也可以被标量缩放。我们定义了向量。我们定义了加法逆元。逻辑上的伏笔Axler 在第一章第一节仅停留在这里。他没有把称为“唯一的”向量空间。相反他在暗示任何对象的集合只要能像这样由“加法”和“标量乘法”操纵并且满足类似的律法它就是一个向量空间。只是具体且特殊的例子而不是定义。第二回灵魂的提取——向量空间的公理化定义0.向量空间具象理解在数学里“空间” 就是一个“集合”。也就是“一堆东西的合集”。一堆苹果是一个集合。一堆箭头是一个集合。一堆函数是一个集合。但是普通的集合是很散乱的。比如“一堆苹果”你把两个苹果“加”在一起是什么意思没意义。你把一个苹果“乘 3”是什么意思变大三倍吗不确定。向量空间就是在这个集合上加了两条钢铁般的规则让这堆东西变得极其守纪律要把一个普通的“集合”晋升为“向量空间”它必须保证你在里面怎么“折腾”都永远跑不出去。这就好比一个完美的封闭宇宙。在这个宇宙里你只能做两个动作动作 1伸缩标量乘法规则你手里拿一个东西如果你把它拉长乘 2、缩短乘 0.5、甚至反向拉乘 -1得到的新东西必须还在这个宇宙里。动作 2合成加法规则你左手拿一个东西右手拿一个东西把它们“加”在一起得到的新东西必须还在这个宇宙里。为了彻底听懂请你脑海中浮现出一张无限大的平展白纸这是一个二维平面。原点零向量纸中心有一个红点。这是必须有的它是世界的中心。向量从红点出发画向纸上任意一点的箭头。验证它是向量空间伸缩你把任何一个箭头拉长两倍箭头还在纸上吗在。因为纸是无限大的。合成你随便画两个箭头把它们首尾相接拼起来终点还在纸上吗在。因为纸是平的。这就是向量空间一个平坦的、无限延伸的、包含原点的世界。为什么叫“向量”而不叫“箭头”之所以这本书叫《线性代数应该这样学》是因为 Axler 想告诉你不要只盯着箭头看。只要满足上面那个“永不越界”的游戏规则任何东西都是向量。例子声音波形想象所有的声音波形。伸缩你把一段声音的音量放大一倍乘 2它还是声音吗是。合成你同时播放两段声音加法它们混合在一起这还是声音吗是。原点静音波形为0。结论声音波形构成了一个向量空间在这里一段波形就是一个“向量”。处理声音的算法本质上就是在做线性代数运算。向量空间就是一个封闭的操作台。在这个台子上任何对象都可以被拉伸也可以被叠加而且无论怎么操作生成的新对象永远不会掉出这个台子。”关键点 1必须有原点。关键点 2必须是直的、平的加法封闭。关键点 3必须是无限延伸的乘法封闭。现在我们要进行一次思维上的飞跃剥离具体形式提取代数灵魂。我们将不再关心“向量”长什么样是一列数是一个函数还是一个矩阵我们只关心它们如何运算。这就是向量空间Vector Space的公理化定义。这是线性代数最庄严的时刻因为后续所有定理都将建立在这几条简短的公理之上。1. 定义什么是向量空间一个向量空间由三个要素组成一个集合或许我们可以成为向量域其中的元素称为向量。一个标量域实数域或复数域。两种运算加法和标量乘法。这两种运算必须满足以下公理。对于任意和任意A. 加法的代数结构加法必须生成一个“阿贝尔群”结构封闭性 :。交换律 :。结合律 :。加法单位元 :存在一个唯一的元素使得。加法逆元 :对于每个存在唯一的使得B. 标量乘法的代数结构封闭性 (Closure):。结合律 (Associativity):。乘法单位元 (Multiplicative Identity):这里是中的单位元。C. 分配律这是连接加法与乘法的桥梁标量分配律:。向量分配律:。2. 深入理解为什么是这些公理Axler 列出这些公理并非随性而为。这组公理极其精炼地定义了“线性”的本质。没有减法与除法注意定义中没有定义或。在严格的代数结构中减法只是加逆元除法只是乘倒数。这保证了运算定义的最小化。原点的重要性公理 A.4 强制要求空间中必须有一个“原点” 0。没有原点的几何对象如直线不能构成向量空间因为它不包含零向量违背了加法单位元的存在性。结合律的意义公理 A.3 和 B.2 允许我们在写长串运算时省略括号。比如无论先算哪两个结果都一样。3. 核心实例超越为了打破“向量就是一列数”的刻板印象Axler 引入了更广泛的例子。3.1 函数空间 $\mathbb{F}^S$设是任意非空集合。定义为从到的所有函数的集合。对于和我们定义逻辑连接如果那么本质上就是。因为一个定义域为的函数其实就是个特定的值这正是一个长度为的列表。如果区间那么就是定义在上的所有实/复值函数空间。结论只是函数空间的一个特例。这一视角极大地扩展了向量空间的应用范围——多项式、连续函数、可微函数它们都是向量。向量空间太大了我们需要在其中寻找结构。正如我们在三维空间中寻找“平面”和“直线”在向量空间中我们要寻找子空间Subspaces。我们将定义什么是子空间以及最重要的——直和Direct Sums这是理解空间分解的关键。第三回空间的解剖学——子空间与直和我们已经拥有了一个巨大的宇宙——向量空间。但通常我们不需要研究整个宇宙只需要研究其中的一小块区域比如二维平面中的一条直线。这就引出了一个问题什么样的“一小块区域”才有资格被当作线性代数的研究对象0.具象理解你已经知道什么是向量空间 ()了那个无限延伸、包含原点的完美平坦世界。现在我们在里面随便圈出一块地盘叫它子集。核心问题这块被圈出来的是一堆杂乱无章的碎片还是一个“自给自足的小世界”如果是后者它就是子空间。子空间 U 必须满足一个极其苛刻的逻辑条件如果在这个圈子 U里的人完全不依赖外界 V就能玩转所有的线性代数游戏那它就是子空间。这意味着U 必须是一个“微缩版”的向量空间。它“寄生”在 V 里但它自己必须拥有完整的结构。为了证明 U 具备这种独立性它必须通过三道“防逃逸”测试。我们以三维空间你的房间作为大宇宙 V。我们来看看房间里的哪些对象能通过测试。第一道测试原点锚定规则。直觉任何空间都必须有中心。如果你圈的地盘里没有原点你就失去了坐标系的“根”。实例通过穿过房间中心的一条激光线。失败悬浮在天花板上的一条线不经过原点。逻辑后果如果没有 0那么加法就失效了因为如果不在里面运算结果就“掉出去”了。第二道测试加法封闭规则圈子里随便找两个向量它们的和必须还在圈子里。直觉最关键这要求子空间必须是平直的。失败案例十字架形状想象是地面上的轴和轴的并集十字形就是只有两个坐标轴其他都没有。你在轴取个向量合法。你在轴取个向量合法。加法。结果在轴和轴之间的区域它掉出去了结论弯曲的、折断的、拼接的形状如十字架、圆圈、双曲线都会在加法这一关挂掉。只有直线、平面这种“平”的东西才能过关。第三道测试数乘封闭规则圈子里随便拿个向量随便乘个数字结果必须还在圈子里。直觉这要求子空间必须是无限延伸的。失败案例线段想象是从原点出发长度只有 1 米的一根短棍。你在里面拿个向量长度 0.5。数乘乘上 10。结果长度变成 5。它戳出去了结论有边界的东西正方形、球体、线段统统不行。子空间必须向两头无限延伸。为了让你心里有底我们可以把三维空间中所有的子空间列一张清单。除了这四类再无其他。零维子空间内容只有原点。解释它是最小的。如果你只待在原点不管怎么加、怎么乘你永远还是 $0$。完美封闭。一维子空间内容所有过原点的直线。解释只要这根线是无限长且直的且经过原点你在上面怎么爬加法、数乘都永远掉不下去。二维子空间内容所有过原点的平面。解释只要这个面是平的、无限大的且经过原点。比如桌面无限延伸你在桌面上画箭头相加永远不会飞到空中去。三维子空间内容整个自己。解释最大的子空间就是它本身。什么是子空间它必须同时满足有根包含原点。平直加法不产生新方向。无限数乘不产生越界。用一句话说子空间是过原点的线性平坦结构。1. 子空间 (Subspace)宇宙中的小宇宙接下来进入数学抽象1.1 什么是子空间想象是全集。我们取的一个子集即。如果这个完全继承了的所有优良性质使得我们在内部进行加法和数乘时永远不会“掉出”这个圈子那么就是的一个子空间。1.2 严格判据要证明 U 是 V 的子空间必须且只需检查以下三个条件。这三个条件缺一不可必须死记硬背且深刻理解1.零向量存在深度解析为什么必须有 0因为线性代数不仅研究“形状”还研究“结构”。没有原点0的对象比如平面上 x1 这条直线不具备代数结构——你没法在这个集合里找到一个元素加它等于它自己。只要没有 0直接判死刑不是子空间。2.加法封闭如果那么。深度解析比如你在这个圈子里随便找两个东西加起来结果跑出去了那这个圈子就是“破”的不是完备的子空间。3.标量乘法封闭如果且那么。深度解析这意味着你不能限制向量的“长度”。如果你说“我只研究长度小于 1 的向量”这不行因为我乘个 5它就变长了跑出去了。子空间必须能无限延伸。1.3 实例与反例的深度剖析这是理解的关键我们以二维平面为例来看看谁是子空间谁不是。案例 A过原点的直线集合。检查 1满足吗满足。。检查 2取两点和。相加得。满足吗满足。检查 3取点和标量。相乘得。满足。结论是子空间。案例 B不过原点的直线集合。检查 1满足吗。结论不是子空间。哪怕它是一条直的线但因为丢了原点它在线性代数里就没有地位。案例 C虽然有原点但形状不对最易错集合。这是什么这是轴和轴的并集十字架形状。检查 1在里面吗在。检查 2加法封闭取在 x 轴上属于。取在 y 轴上属于。。在里吗不在因为。结论不是子空间。深意子空间必须是“平直”的。两个子空间简单的拼凑并集往往不再是子空间因为加法会把它们“混合”出新的方向。2. 子空间的和 (Sum of Subspaces)既然简单的“并集”Union,通常不是子空间如案例 C 所示那我们如何把两个子空间和正确地结合起来呢2.1 定义我们需要一种运算能囊括和的所有组合。这就是和。这表示从里拿一个向量从里拿一个向量加起来。把所有这种加出来的结果放在一起就是。重要性质是包含和的最小的子空间。2.2 例子在中设是 x 轴。设是 y 轴。(并集):只是个“十字架”不是子空间。(和):任意。这是整个 xy 平面这是一个完美的子空间。3. 直和 (Direct Sum)线性代数的“精确拆解”这是第一章最难、最重要、最深奥的概念。请务必慢下来。3.1 为什么需要“直”和普通的和有个缺陷表达不唯一。想象 U 是 xy 平面W 是 yz 平面。它们的和是整个。 取一个向量。 它可以写成吗方式 1,。方式 2,。加起来还是。因为和有重叠y 轴导致同一个向量有无数种拆分方法。这很糟糕我们想要唯一性。3.2 直和的定义如果 V 中的每一个向量都能唯一地Unique写成其中那么我们称是和的直和。记作我们怎么知道两个空间是不是直和去试每一个向量是否唯一太麻烦了。Axler 给出了一个极其优美的判据定理是直和当且仅当即和的交集只有零向量。详细逻辑推导为什么从右往左推如果为什么表示就唯一了假设且有两种写法。那么。移项整理。看左边因为是子空间差也在里。所以结果。看右边所以结果。这意味着这个差值既在里也在里。既然交集只有那么。同理。结论只要交集为零拆分方法就是唯一的几何理解想让两个东西完全不纠缠它们只能在原点处碰头。x 轴和 y 轴就是直和关系交集只有原点。xy 平面和 yz 平面不是直和关系交集是 y 轴不仅仅是原点。到现在我们在脑海中构建了什么图像子空间是保持加法和数乘封闭的“平直”结构且必须包含原点 $0$。和 ()是把两个子空间“张成”一个更大的空间。直和 ()是最完美的拼接方式它要求两个子空间除了原点外互不干涉从而保证了世界上的每一个向量都能被精确、唯一地分解。