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要理清数、自…目录1、数、自然数、整数、有理数、无理数它们的定义由来和边界划分一、 各概念的定义与由来二、 边界划分与包含关系三、 关系图总结2.无限循环小数归到哪一类核心依据举例验证关键区分1、数、自然数、整数、有理数、无理数它们的定义由来和边界划分要理清数、自然数、整数、有理数、无理数的定义、由来及边界划分我们可以按照数系的扩展逻辑逐步拆解同时结合历史背景说明名称与概念的由来。一、 各概念的定义与由来概念核心定义名称/概念由来典型示例数用于计数、测量、标记或排序的抽象概念是数学的基础研究对象。源于人类生产生活需求最早为计数猎物/果实产生自然数后逐步扩展到各类数。1、1 2 \frac{1}{2}21、− 3 -3−3、2 \sqrt{2}2自然数非负整数集合现代定义包含0 00即{ 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } \{0,1,2,3,...\}{0,1,2,3,...}部分教材曾定义为正整数{ 1 , 2 , 3 , . . . } \{1,2,3,...\}{1,2,3,...}。拉丁语naturalis自然的因是人类自然形成的计数工具而得名是最古老的数系。0 00、5 55、100 100100整数包含正整数、负整数和0 00的集合即{ . . . , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , . . . } \{...,-2,-1,0,1,2,...\}{...,−2,−1,0,1,2,...}。源于“整合”计数需求减法运算如3 − 5 3-53−5在自然数中无解因此引入负整数与自然数整合为整数。− 3 -3−3、0 00、8 88有理数可以表示为两个整数之比p q \frac{p}{q}qpp , q p,qp,q为整数q ≠ 0 q≠0q0的数包含整数和分数。英文rational number词根为拉丁语ratio比例意为“可比数”中文翻译误将rational译为“有理的”属于历史翻译偏差。− 2 -2−2、3 4 \frac{3}{4}43、0.6 0.60.6即3 5 \frac{3}{5}53无理数不能表示为两个整数之比的实数即无限不循环小数。古希腊毕达哥拉斯学派发现2 \sqrt{2}2无法表示为分数打破了“万物皆数有理数”的认知因与学派理念冲突被称为“无理”的数中文延续此叫法。2 \sqrt{2}2、π \piπ、e ee二、 边界划分与包含关系数系的扩展是为了解决更复杂的运算需求后续数系包含前面的数系具体的层级关系和边界如下自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数 ⊂ 实数自然数是整数的非负部分整数比自然数多了负整数。整数是有理数的特殊形式整数可以看作分母q 1 q1q1的有理数如5 5 1 5\frac{5}{1}515。有理数和无理数无交集两者共同构成实数集。关键边界区分自然数 vs 整数核心是负整数的有无0 00既属于自然数也属于整数。整数 vs 有理数核心是是否包含分数/有限小数/无限循环小数比如1 3 \frac{1}{3}31是有理数但不是整数。有理数 vs 无理数核心是能否表示为整数比同时有理数是有限小数或无限循环小数无理数是无限不循环小数。所有上述数都属于实数实数之外还有虚数如− 1 i \sqrt{-1}i−1i等更复杂的数系。三、 关系图总结实数 ├─ 有理数 │ ├─ 整数 │ │ ├─ 正整数 │ │ ├─ 负整数 │ │ └─ 0 │ └─ 分数正分数/负分数 └─ 无理数无限不循环小数2.无限循环小数归到哪一类无限循环小数归属于有理数。核心依据有理数的定义是可以表示为两个整数之比p q \frac{p}{q}qpq ≠ 0 q≠0q0的数而所有无限循环小数都能通过代数方法转化为分数形式。举例验证纯循环小数循环节从十分位开始例0. 3 ˙ 0.333... 0.\dot{3}0.333...0.3˙0.333...设x 0.333... x0.333...x0.333...则10 x 3.333... 10x3.333...10x3.333...两式相减得9 x 3 9x39x3→x 1 3 x\frac{1}{3}x31属于有理数。混循环小数循环节前有非循环部分例0.1 2 ˙ 0.1222... 0.1\dot{2}0.1222...0.12˙0.1222...设x 0.1222... x0.1222...x0.1222...则10 x 1.222... 10x1.222...10x1.222...100 x 12.222... 100x12.222...100x12.222...两式相减得90 x 11 90x1190x11→x 11 90 x\frac{11}{90}x9011属于有理数。关键区分无限循环小数→ 有理数可化分数无限不循环小数→ 无理数不可化分数如π \piπ、2 \sqrt{2}2