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慧聪网的网站建设策略,html页面 wordpress,做个网页需要多少钱,业余做网站文章目录引言Beta 分布定义Beta 分布概率密度函数构造Beta 分布其他性质利用多次伯努利试验更新 Beta 分布前一段时间学习了 Dirichlet 分布#xff0c;知道了这个分布其实本质上就是一种分布的分布。而今天写的Beta 分布本质上也是一种分布的分布。我是参考这篇文章学习的知道了这个分布其实本质上就是一种分布的分布。而今天写的Beta 分布本质上也是一种分布的分布。我是参考这篇文章学习的【统计学进阶知识一】深入理解Beta分布从定义到公式推导感觉这篇文章讲得很到位是一篇好文。下面是我学习这篇文章后写的一个笔记以备后面复习查看。引言我们知道伯努利试验和伯努利分布这两个简单的概念。比如在抛硬币试验中我们定义抛出正面为成功的事件。因为我们都知道抛出正面的概率为0.5 0.50.5因此我们可以说X ∼ B e r n o u l l i ( q 0.5 ) X \sim Bernoulli(q0.5)X∼Bernoulli(q0.5)。然而这个q qq事实上真为 0.5 吗其实并不是这只是基于频率学派得出的一个观点。用来做试验的硬币可能因为正反面材质不均匀导致我们抛出正面的概率并非 0.5。q qq可能为任何数只不过对于不同的数有不同的可能性而 Beta 分布就是来研究这个q qq的概率分布的。另一方面Beta 分布的性质还可以帮助我们通过不断进行伯努利试验来更新初始化的q qq的概率分布也就是利用后验概率来更新先验概率从而慢慢接近事实上的概率关于这一点后面也会讲到。Beta 分布定义设连续型随机变量X XX其实就是引言中提到的q qq注意不要和伯努利分布和二项分布搞混 服从参数为α , β α,βα,β的 Beta 分布记为X ∼ B e t a ( α , β ) X \sim Beta(α, β)X∼Beta(α,β)满足参数条件α 0 , β 0 α 0, β 0α0,β0取值范围X ∈ ( 0 , 1 ) X \in (0,1)X∈(0,1)Beta 分布的概率密度函数为f ( x ) 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 , x ∈ ( 0 , 1 ) f(x) \frac{1}{B(α,β)} x^{α-1} (1-x)^{β-1}, \quad x \in (0,1)f(x)B(α,β)1​xα−1(1−x)β−1,x∈(0,1)其中B ( α , β ) B(α,β)B(α,β)叫做Beta 函数用来归一化让概率密度函数在定义域积分后为 1公式为B ( α , β ) ∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α β ) B(α,β) \int_{0}^{1} x^{α-1} (1-x)^{β-1} dx \frac{\Gamma(α)\Gamma(β)}{\Gamma(αβ)}B(α,β)∫01​xα−1(1−x)β−1dxΓ(αβ)Γ(α)Γ(β)​等式最右边利用伽马函数Γ ( m ) ( m − 1 ) ! \Gamma(m) (m-1)!Γ(m)(m−1)!m mm为正整数改写了形式显得简约美观具体推导会在后面介绍。Beta 分布概率密度函数构造二项分布是在多次伯努利试验基础上得到的成功次数的分布我们下面从二项分布出发来构造一个 Beta 分布的概率密度函数。设离散型随机变量X XX服从参数为n , q n,qn,q的二项分布X ∼ B ( n , q ) X \sim B(n, q)X∼B(n,q)我们可以写出二项分布的概率公式P ( X x ) ( n x ) q x ( 1 − q ) n − x P(Xx) \binom{n}{x} q^x (1-q)^{n-x}P(Xx)(xn​)qx(1−q)n−x下面我们利用类似的结构构造一个关于参数q qq的概率密度函数这里的q qq是一个连续型变量在( 0 , 1 ) (0,1)(0,1)内取值。首先我们先写出正比形式f ( q ) ∝ q a ( 1 − q ) b f(q) \propto q^{a}(1-q)^{b}f(q)∝qa(1−q)b然后通过除以归一项来变成合法的概率密度函数f ( q ) 1 ∫ 0 1 q a ( 1 − q ) b d q q a ( 1 − q ) b f(q)\frac{1}{\int_{0}^{1}q^a (1-q)^b dq}q^a(1-q)^bf(q)∫01​qa(1−q)bdq1​qa(1−q)b接下来我们通过变量替换等操作改一下形式让这个密度函数更加漂亮。首先利用α a 1 \alphaa1αa1和β b 1 \betab1βb1进行变量替换f ( q ) 1 ∫ 0 1 q α − 1 ( 1 − q ) β − 1 d q q α − 1 ( 1 − q ) β − 1 f(q)\frac{1}{\int_{0}^{1}q^{\alpha-1} (1-q)^{\beta-1} dq}q^{\alpha-1}(1-q)^{\beta-1}f(q)∫01​qα−1(1−q)β−1dq1​qα−1(1−q)β−1其中分母∫ 0 1 q α − 1 ( 1 − q ) β − 1 d q \int_{0}^{1}q^{\alpha-1} (1-q)^{\beta-1} dq∫01​qα−1(1−q)β−1dq为Beta 函数B ( α , β ) B(\alpha,\beta)B(α,β)我们简写一下同时把q qq换成x xx就变成了 Beta 分布的概率密度函数了f ( x ) 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 f(x)\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}f(x)B(α,β)1​xα−1(1−x)β−1Beta 函数B ( α , β ) B(\alpha,\beta)B(α,β)还可以写成Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α β ) \frac{\Gamma(α)\Gamma(β)}{\Gamma(αβ)}Γ(αβ)Γ(α)Γ(β)​的形式对应的推导可以看[这篇文章中的2. Beta 函数和 Gamma 函数的关系](https://zhuanlan.zhihu.com/p/69606875#:~:text2. Beta 函数和 Gamma 函数的关系)这部分具体的推导思路就是在放球试验中从两种不同角度用两种不同公式得到同种概率建立等式。Beta 分布其他性质期望E ( X ) α α β E(X) \frac{α}{αβ}E(X)αβα​方差V a r ( X ) α β ( α β ) 2 ( α β 1 ) Var(X) \frac{αβ}{(αβ)^2 (αβ1)}Var(X)(αβ)2(αβ1)αβ​概率分布函数F ( x ) B ( x ; α , β ) B ( α , β ) F(x) \frac{B(x; α,β)}{B(α,β)}F(x)B(α,β)B(x;α,β)​其中B ( x ; α , β ) B(x; α,β)B(x;α,β)为不完全 Beta 函数即把原Beta函数的定积分上限变为变量x即变上限积分B ( x ; α , β ) ∫ 0 x t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t B(x; α,β) \int_{0}^{x} t^{α-1} (1-t)^{β-1} dtB(x;α,β)∫0x​tα−1(1−t)β−1dt利用多次伯努利试验更新 Beta 分布这里直接说结论了假设伯努利试验的成功概率q qq服从的先验概率分布为X ∼ B e t a ( α , β ) X \sim Beta(α, β)X∼Beta(α,β)当进行了n nn次伯努利试验后其中出现k kk次成功可以得到q qq的后验概率分布服从X ∼ B e t a ( α k , β n − k ) X \sim Beta(α k, β n - k)X∼Beta(αk,βn−k)。具体的推导可以看文章的4. Beta分布与二项分布的关系也比较有趣。我们可以观察一下后验概率分布形式和先验概率分布形式发现两个参数分别加了k kk和n − k n-kn−k正好是这n nn次伯努利试验中成功的次数和失败的次数。因此我们可以说 Beta 分布中的参数α , β \alpha,\betaα,β可以从感觉上理解为伪计数其中α − 1 \alpha-1α−1类似多次伯努利试验中的成功计数β − 1 \beta-1β−1类似多次伯努利试验中的失败计数。当α 1 , β 1 α1, β1α1,β1时Beta 分布退化为( 0 , 1 ) (0,1)(0,1)区间的均匀分布f ( x ) 1 B ( 1 , 1 ) x 0 ( 1 − x ) 0 1 , x ∈ ( 0 , 1 ) f(x) \frac{1}{B(1,1)} x^{0} (1-x)^{0} 1, \quad x \in (0,1)f(x)B(1,1)1​x0(1−x)01,x∈(0,1)此时伪计数为 0表示一点不知道q qq的分布因此可以在( 0 , 1 ) (0,1)(0,1)区间等概率选取。