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a, a sinθ)BB’ (-b sinθ, b cosθ - b)AA’ · BB’ 0 ⇒ 解得θ 45°。纯几何法也可行作辅助线构造“一线三垂”利用全等转移角度最终导出θ 45°。模型二“鸡爪模型”与旋转补形“鸡爪模型”形象地描述了从某一点引出三条线段的情形常见于正方形内部一点到三个顶点的距离已知求第四段长度的问题。典型题正方形ABCD中P为内点PA 1PB 2PC 3求PD。解法精髓在于旋转补形将△APB绕B点逆时针旋转90°至△CQB得到PQ PB√2 2√2且∠PBQ 90°连接QC在△PQC中使用勾股定理验证是否成立实际上可通过坐标设定精确求解最终得PD √5。此法核心是通过旋转构造全等三角形实现边长迁移属于高阶技巧。模型三“半角模型”与全等转化“半角模型”最典型的场景是在正方形中由顶点引出一条射线使其与两边夹角之和为45°。如正方形ABCD中E、F分别在BC、CD上且∠EAF 45°求证EF BE DF。标准解法将△ADF绕A点逆时针旋转90°至△ABG则G在CB延长线上AG AFBG DF∠GAE ∠GAB ∠BAE ∠DAF ∠BAE (45°−∠BAE) ∠BAE 45°故△AGE ≌ △AFESAS⇒ GE EF而GE GB BE DF BE ⇒ EF BE DF。整个过程宛如拼图重组体现了旋转在构造全等中的强大威力。模型四等腰直角三角形旋转后的共圆现象考虑如下情境等腰Rt△ABC中AB AC∠A 90°绕A旋转45°得△ADE连接BD、CE交于F求∠BFC。分析要点旋转后△ADE仍是等腰直角三角形∠BAD 45°而原∠BAC 90° ⇒ ∠CAD 45°结合对称性可知点B、F、C、A可能共圆利用圆周角定理 ⇒ ∠BFC 180° − ∠BAC 135°。该结论具有一般性两个等腰直角三角形共享顶点并旋转一定角度后其非公共边交点常与原三角形构成共圆结构。旋转与相似三角形比例关系的生成器当旋转角非特殊角度或原始图形不对称时单纯依赖全等难以推进此时相似三角形成为破局关键。情况一平行触发X型相似△ABC中AB 10AC 6绕A旋转得△ADE若DE ∥ BC求AD的长度。关键洞察DE ∥ BC ⇒ ∠ADE ∠ABC旋转 ⇒ ∠DAE ∠BAC⇒ △ADE ∽ △ABCAA对应边成比例 ⇒ AD/AB AE/AC k由AC 6AB 10 ⇒ k 6/10 3/5故AD k·AB 6。注意若缺少AB 10这一条件则只能表达比例关系无法确定具体数值。这提醒我们在审题时必须关注“可解性条件”。情况二共角共边型相似的经典应用等腰△ABCAB AC绕A旋转得△ADEAD AE连接BD、CE求证△ABD ∽ △ACE。证明思路清晰AB ACAD AE∠BAD ∠CAE均为旋转角夹该角的两边成比例比值为1且夹角相等⇒ △ABD ∽ △ACESAS相似准则。这是一种非常典型的“共角共边型相似”广泛应用于旋转背景下的比例推导。情况三重心180°旋转 → 中心对称结构G为△ABC重心将△AGB绕G旋转180°得△DGC求证AD ∥ BC。这类题宜采用坐标法处理设A(0,3)B(-2,0)C(2,0)则G ((0−22)/3, (300)/3) (0,1)旋转180° ⇒ D满足 $\vec{GD} -\vec{GA}$ ⇒ D 2G − A (0,2) − (0,3) (0,-1)则AD从A(0,3)到D(0,-1)为竖直线段BC从B(-2,0)到C(2,0)为水平线段 ⇒ AD ⊥ BC而非平行。咦题目要求证平行这里暴露了一个常见误区旋转180°并不必然导致平行需具体分析向量方向。事实上若要使AD ∥ BC必须满足向量AD与BC同向或反向。本例中两者垂直故原命题不成立。可能是题设条件有误或需要补充其他约束。这也说明在处理旋转与相似问题时不能仅凭直觉判断必须借助向量、坐标或严格几何推理进行验证。翻折与相似三角形轴对称中的比例艺术翻折即轴对称变换其核心特征是折痕是对称点连线的垂直平分线且翻折前后图形全等。正因为这种强对称性翻折常常带来意想不到的角度相等、边长相等等价关系也为相似三角形的诞生提供了温床。模型一“双平等腰” 勾股定理矩形ABCD中AD 2BC 5E在AB上将△BCE沿CE翻折使B落于D点求BE。设BE x则ED x翻折对应边相等又B与D关于CE对称 ⇒ CE为BD的垂直平分线取BD中点F则CF ⊥ BD。建系求解更直观设A(0,0)B(5,0)C(5,2)D(0,2)E(x,0)B(5,0) → D(0,2)中点F(2.5,1)应在CE上CE过C(5,2)和E(x,0)斜率为 $k_{CE} \frac{0-2}{x-5} \frac{-2}{x-5}$向量CF F − C (−2.5, −1)应与CE方向一致计算得x 4 ⇒ BE 4。此题再次印证坐标法是处理翻折类综合题的利器。模型二分类讨论与8字型相似有些翻折题存在多种落点可能性必须分类讨论。例如将Rt△ABC沿斜边上的高CH翻折点C落至C′判断△ACC′与△BCC′是否相似。需分情况若C′在△ABC内部观察∠ACC′与∠BCC′是否互补若C′在外侧可能出现∠ACC′ ∠BC′C等关系寻找是否有“8字型”或“X型”结构支持相似判定。通常情况下只有当原三角形为等腰直角三角形时才可能满足相似条件。模型三“一线三直角”的反复登场无论是旋转还是翻折“一线三直角”模型都频频现身。以梯形翻折为例梯形ABCD中AD∥BC∠B 90°AD 2BC 5E在AB上将△BCE沿CE翻折B与D重合求BE。此前已解关键在于识别∠B 90°翻折后∠CDE 90°AD∥BC ⇒ ∠ADC ∠DCB 180°若CE ⊥ BD则三点处各有一个直角分布在同一直线附近构成“一线三垂直”雏形。一旦识别成功即可通过作垂线、构造矩形等方式打开突破口。模型四三线合一与中线翻折Rt△ABC中D为斜边AB中点AC 4BC 2将△ACD沿CD折叠A落于E求AE长度。思路如下D为中点 ⇒ CD $\frac{1}{2}\sqrt{AC^2 BC^2} \frac{\sqrt{20}}{2} \sqrt{5}$折叠 ⇒ CA CE 4DA DEAE被CD垂直平分设交点为F在Rt△ACF中AF² AC² − CF²需先求CF可通过面积法或坐标法完成最终解得$$AE \frac{8\sqrt{5}}{5}$$这道题融合了中线、翻折、勾股、垂直平分等多个知识点综合性极强。模型五弧形折叠与切点约束扇形AOB半径6圆心角90°E在OA上OE 5F在弧AB上沿EF对折使弧A’F切OB于G求O到EF的距离。这是典型的高阶题涉及圆弧翻折后仍为圆弧切点G ⇒ OG ⊥ A’GA与A′关于EF对称 ⇒ EF为AA′的垂直平分线O到EF的距离即为点到直线距离。可设EF所在直线方程利用对称点公式列出约束条件联立求解。也可构造辅助圆或利用相似三角形间接求高。这类题虽难度大但体现了中考趋势从平面图形走向空间感知从单一知识走向综合建模。几何模型速览掌握这些考场少走弯路模型名称核心特征典型应用场景一线三垂直三线垂直交汇于一线直角三角形、翻折、坐标系构造鸡爪模型一点三线呈120°分布正方形内点问题、旋转补形半角模型夹角为原角一半正方形中45°构造、全等转化参数大法设未知数列方程动态问题、比例关系不确定分类讨论存在多种位置或状态翻折落点、动点轨迹共角共边相似公共角 邻边成比例旋转相似、比例推导三线合一等腰三角形中高、中线、角平重合长度计算、辅助线添加图形的旋转与翻折不只是动作本身更是一种思维方式——它教会我们在变化中寻找不变在运动中把握结构。面对一道复杂的压轴题不妨问自己几个问题是否存在旋转中心或对称轴有没有等腰、直角、中点、角平分线等标志性元素能否通过旋转或翻折还原出隐藏的全等或相似是否可以引入坐标或参数将几何问题代数化唯有将“形”的直观与“数”的严谨深度融合才能真正驾驭千变万化的几何世界。建议同学们平时训练时注重“条件翻译”能力——把每一句题干转化为图形语言或符号表达并主动匹配已有模型。久而久之那些曾经令人望而生畏的压轴题也会变得有迹可循。